Question

（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a³），若△OAB为直角三角形，则必有（　　）

• A．b=a³
• B．b=a3+

  1

  a

• C．(b-a3)(b-a3-

  1

  a

  )=0
• D．|b-a3|+|b-a3-

  1

  a

  |=0

Answer 1

分析：利用已知可得

AB

=（a，a³-b），

OA

=(0，b)，

OB

=（a，a³），且ab≠0．分以下三种情况：①

OA

⊥

OB

，②

OA

⊥

AB

，③

OB

⊥

AB

，利用垂直与数量积的关系即可得出．

解答：解：∵

AB

=（a，a³-b），

OA

=(0，b)，

OB

=（a，a³），且ab≠0．
①若

OA

⊥

OB

，则

OA

•

OB

=ba³=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若

OA

⊥

AB

，则

OA

•

AB

=b（a³-b）=0，∵b≠0，∴b=a³≠0；
③若

OB

⊥

AB

，则

OB

•

AB

=a²+a³（a³-b）=0，得1+a⁴-ab=0，即b-a3-

1

a

=0．
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有(b-a3)(b-a3-

1

a

)=0．
故选C．

点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．