Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)经过点(0，)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线交椭圆于M，N两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当MF＝2FN时，求直线的方程；

（3）若直线上存在点P满足PM·PN＝PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）由题意，b＝，再由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝，结合隐含条件解得a＝2，c＝1，则椭圆方程可求；

（2）当直线l与x轴重合时，求得MF＝3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系及MF＝2FN求得m值，则直线方程可求；

（3）当直线l的斜率为0时，设P（x0，y0），由PMPN＝PF2，求得，当直线l的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PMPN＝PF2，求得，代入直线方程得，由此可得点P在定直线上．

（1）设椭圆的截距为2c，由题意，b＝，

由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c＝，

又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，c＝1．

∴椭圆C的标准方程为；

（2）当直线l与x轴重合时，M（﹣2，0），N（2，0），此时MF＝3NF，不合题意；

当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．

①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，

联立①③得，，

代入②得，，解得．∴直线方程为；

（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（﹣2，0），设P（x0，y0），

则PMPN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵点P在椭圆外，∴x0﹣2，x0+2同号，

又，解得．

当直线l的斜率不为0时，由（2）知，，

．

∵点P在椭圆外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同号，

∴PMPN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝

，

整理得，代入直线方程得．∴点P在定直线上．