Question

已知函数和函数，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   [1，2）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；
解答：函数，
当＜x≤1时，f（x）=，f′（x）==＞0，
f（x）为增函数，∴f（）＜f（x）≤f（1），
∴f（x）∈（，]；
当0≤x≤时，f（x）=-x+，为减函数，
∴f（）≤f（x）≤f（0），
∴f（x）∈[0，]，
综上：f（x）∈[0，]；
函数，g′（x）=，0≤≤，
∴g′（x）＞0；
g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1），
∴g（x）=[1-a，1-]，
∵存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，
∴解得≤a≤2，
故选C；
点评：此题主要考查函数的存在性问题，一般与恒成立问题一个类型，知识点比较全面，是一道中档题，也是一道好题；