Question

10．在△ABC中，b=1，sinC=$\frac{4}{5}$，bcosC+ccosB=2，则$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=$±\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 根据余弦定理可以得到$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}，cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，这样代入bcosC+ccosB=2便可求出a=2，而由sinC=$\frac{4}{5}$可以得到$cosC=±\frac{3}{5}$，从而由数量积的计算公式即可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：由余弦定理，$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}，cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，代入bcosC+ccosB=2得：
$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2a}+\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2a}=a=2$；
又$sinC=\frac{4}{5}$；
∴$cosC=±\frac{3}{5}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=abcosC=2•1•（±\frac{3}{5}）=±\frac{6}{5}$．
故答案为：$±\frac{6}{5}$．

点评 考查余弦定理，sin²x+cos²x=1，以及向量数量积的计算公式．