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    已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x、y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).

    (1)求f(1)、f(-1)的值；

    (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.

    思路分析：(1)利用赋值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=-1，得f(-1)的值；(2)利用定义法证明f(x)是奇函数，要借助于赋值法得f(-x)=-f(x).

    解：(1)∵f(x)对任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，

    ∴令x=y=1时，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).

    ∴f(1)=0.

    ∴令x=y=-1时，有f［(-1)·(-1)］=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).

    ∴f(-1)=0.

    (2)∵f(x)对任意x，y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，

    ∴令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).

    将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x)，

    ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列结论中正确的是
    ①②③
    ①②③
    ．
    ①函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=-f（x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
    ②已知ξ～N（16，σ2），若P（ξ＞17）=0.35，则P（15＜ξ＜16）=0.15；
    ③
    已知f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，且在(-∞，0]上是增函数．设a=f(ln
    1
    3
    )，b=f(log43)，
    c=f(0.4-1.2)，则c＜a＜b；

    ④线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量线性相关程度越弱．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)是定义在实数集R上的函数,它的反函数为f-1(x),若y=f-1(x+1)与y=f(x+1)互为反函数,且f(1)=1,则f(2)的值为

    A.2                  B.1                   C.0                   D.-1

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b∈R,满足f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a=(n∈N*),b=(n∈N*);考查下列结论：

    ①f(0)=f(1);②f(x)为偶函数；③数列{a}为等比数列；④{b}为等差数列.

    其中正确的是               .

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    科目：高中数学 来源：2015届广东省高一第一次阶段考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分14分）已知f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，

    且f() = f(x)－f(y)  

    （1）求f(1)的值;

    （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2

     

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    科目：高中数学 来源：2010年黑龙江省高一上学期期末考试数学试卷 题型：填空题

    已知f (x)是定义在∪上的奇函数，当时，f (x)的图象如图所示，那么f (x)的值域是                   

     

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