Question

集合A={x|x²-2x-3≤0，x∈R}B={x|x²-2mx+m²-4≤0，x∈R，m∈R}．
①若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
②若A⊆C_RB，求实数m的取值范围；
③若m=3，试定义一种新运算A△B，使A△B={x|3＜x≤5}．

Answer 1

解：由已知得：A={x|-1≤x≤3}，B={x|m-2≤x≤m+2}．
①∵A∩B=[0，3]，∴，∴，
∴m=2
②C_RB={x|x＜m-2，或x＞m+2}，∵A⊆C_RB，
∴m-2＞3，或m+2＜-1，
∴m＞5，或m＜-3．
③若m=3，则A={x|-1≤x≤3}，，B={x|1≤x≤5}．
可得集合{x|x∈B且x∉A}={x|3＜x≤5}；
集合B∩C_UA={x|3＜x≤5}．
故可定义A△B={x|x∈B且x∉A}，或A△B=B∩C_UA
分析：①根据一元二次不等式的解法，对A，B集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A，B，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m的值；
②由（1）解出的集合A，B，因为A⊆C_RB，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解；
③m=3时，A={x|-1≤x≤3}，，B={x|1≤x≤5}，验证可得{x|x∈B且x∉A}，B∩C_UA均等于集合{x|3＜x≤5}一，可获得新运算．
点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，属基础题．