Question

已知函数（a∈R）．
（1）函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为12x-y+b=0（b∈R），求a与b的值；
（2）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（3）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）已知函数（a∈R）．
则导数f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为12x-y+b=0可知：
f′（-1）=a+（a+1）+1=12，f（-1）=--（a+1）-1-=-12+b，
解得a=5，b=6；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-1）（x-）
∵a＜0，∴＜1，

	（-∞，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

∴f（x）极大值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=-（a-1）
（3）f（）==，f（1）=-（a-1）
f（2）=（2a-1），f（0）=-＜0，
①当a≤时f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，f（0）=-＜0，
f（1）=-（a-1）＞0，f（2）=（2a-1）≤0，所以f（x）在区间[0，1]，（1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；当 ＜a≤1时，f（x）在[0，1]上为增函数，在（1，）上为减函数，（，2）上为增函数，f（0）=-＜0，
f（1）=-（a-1）＞0，f（）=＞0，f（2）=（2a-1）＞0，
所以f（x）只在区间[0，1]上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
③当a＞1时，f（x）在[0，]上为增函数，在（，1）上为减函数，（1，2）上为增函数，f（0）=-＜0，f（）=＜0，f（1）=-（a-1）＜0，f（2）=（2a-1）＞0，
，所以f（x）只在区间（1，2）上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
故存在实数a，当a≤时，函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点．
分析：（1）函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为12x-y+b=0，可知：f′（-1）=12，f（-1）=-12+b，可解a，b的值；
（2）对f（x）进行求导，求出极值点，列出表格，进而求函数f（x）的极值；
（3）求出f（），f（1），f（2）的值，讨论与1，2值的大小，利用零点定理进行判断．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查存在性问题，突出考查函数的零点定理，分类讨论数学思想及综合分析与运算的能力，属于难题．