Question

12．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，且|${\overrightarrow b}$|=2，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，则|${t\overrightarrow b+（1-2t）\overrightarrow a}$|（t∈R）的最小值为1．

Answer 1

分析 由$|{\overrightarrow b}$|=2，不妨取$\overrightarrow{b}$=（2，0），设$\overrightarrow{a}$=（x，y），由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，可得$\overrightarrow{a}$=（1，y），则f（t）=$\sqrt{1+[（1-2t）y]^{2}}$，即可得出．

解答 解：由$|{\overrightarrow b}$|=2，不妨取$\overrightarrow{b}$=（2，0），
设$\overrightarrow{a}$=（x，y），
∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=2$，
∴2x=2，解得x=1．
∴$\overrightarrow{a}$=（1，y），
∴${t\overrightarrow b+（1-2t）\overrightarrow a}$=（1，（1-2t）y）
则f（t）=|${t\overrightarrow b+（1-2t）\overrightarrow a}$|=$\sqrt{1+[（1-2t）y]^{2}}$≥1，当且仅当（1-2t）y=0时取等号．
故答案为：1．

点评 本题考查了向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．