Question

3．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，且f（2）=0，则不等式$\frac{2f（x）+f（-x）}{5x}$＜0解集是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可．

解答 解：∵对任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴此时函数f（x）为减函数，
∵f（x）是偶函数，∴当x≥0时，函数为增函数，
则不等式$\frac{2f（x）+f（-x）}{5x}$＜0等价为$\frac{3f（x）}{5x}$＜0，即xf（x）＜0，
∵f（-2）=-f（2）=0，
∴作出函数f（x）的草图：
则xf（x）＜0等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
即x＜-2或0＜x＜2，
故不等式的解集为（-∞，-2）∪（0，2）．
故选：B

点评 本题主要考查不等式的解集，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．