Question

3．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个棱长为1的正方体，O₁是底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是棱BB₁上的点，且S_△DBM：S${\;}_{△{O}_{1}{B}_{1}M}$=2：3，则四面体O₁ADM的体积为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 利用S_△DBM：S${\;}_{△{O}_{1}{B}_{1}M}$=2：3，求出BM，再求出${S}_{△{O}_{1}DM}$，即可求出四面体O₁ADM的体积．

解答 解：设BM=x，BD=$\sqrt{2}$，O₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵S_△DBM：S${\;}_{△{O}_{1}{B}_{1}M}$=2：3，
∴$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•x$：$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}•（1-x）$=2：3，
∴x=$\frac{1}{4}$，
∴${S}_{△{O}_{1}DM}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{1}{4}$=$\frac{3}{16}\sqrt{2}$
∴四面体O₁ADM的体积为${V}_{A-{O}_{1}DM}$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{16}\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{16}$．
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查求四面体O₁ADM的体积，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．