Question

13．设等差数列{a_n}的公差是d，其前项和是S_n，若a₁=d=1，则$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得：a_n=n，S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$，于是$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{16}{n}+1）$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：a_n=1+（n-1）=n，S_n=$\frac{n（1+n）}{2}$，
∴$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{n（1+n）}{2}+8}{n}$=$\frac{1}{2}（n+\frac{16}{n}+1）$$≥\frac{1}{2}（2\sqrt{n•\frac{16}{n}}+1）$=$\frac{9}{2}$，当且仅当n=4时取等号．
∴$\frac{{S}_{n}+8}{{a}_{n}}$的最小值是$\frac{9}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．