Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{4}$，长轴长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过长轴长可知a=4，利用离心率可知c=$\sqrt{7}$，通过a²=b²+c²可知b²=9，进而可得结论；
（Ⅱ）记A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通过设直线l方程为y=k（x-m）（k≠0）并与椭圆方程联立，利用韦达定理可知x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}m}{9+16{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$，通过$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-n}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-n}$=0，代入计算、化简即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知2a=8，即a=4，
∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，∴c=$\sqrt{7}$，
又∵a²=b²+c²，
∴b²=9，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（Ⅱ）设直线l方程为y=k（x-m）（k≠0），且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AQ、BQ的斜率分别为k₁、k₂，
将y=k（x-m）代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，得：（9+16k²）x²-32k²mx+16k²m²-144=0，
由韦达定理可得：x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}m}{9+16{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$，
由k₁+k₂=0得，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-n}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-n}$=0，
将y₁=k（x₁-m）、y₂=k（x₂-m）代入，
整理得：$\frac{2{{x}_{1}x}_{2}-（m+n）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2mn}{{x}_{1}{x}_{2}-n（{x}_{1}+{x}_{2}）+{n}^{2}}$=0，
即2x₁x₂-（m+n）（x₁+x₂）+2mn=0，
将x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}m}{9+16{k}^{2}}$、x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$代入，
整理可解得：mn=16．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．