Question

（文）（1）已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹L的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）由（2），求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用抛物线的定义，可求点P的轨迹L的方程；
 （2）由（1），假设直线BC的方程为：（k＞0），与曲线方程联立，则得，，同理，根据|AB|=|BC|，可得函数关系式；
（3）由（2）及k=2易得点B、C、A的坐标从而可求D的坐标．
解答：解：（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x²=4y．                         （4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：（k＞0），消y得x²-4kx-x₂²+4kx₂=0，
易知x₂、x₃为该方程的两个根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
从而得，（7分）
类似地，可设直线AB的方程为：，
从而得，（9分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得，（11分）（k＞0）．                              （13分）
（3）由（2）及k=2可得点B、C、A的坐标分别为，，，，所以．                              （18分）
点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查函数关系式的求解，有一定的综合性．