Question

（2008•卢湾区二模）（文）（1）已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，求点P的轨迹L的方程；
（2）若正方形ABCD的三个顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）由（2），求当k=2时正方形ABCD的顶点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义，可求点P的轨迹L的方程；
 （2）由（1），假设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+

x 2 2

4

（k＞0），与曲线方程联立，则得|BC|=

1+k2

(x3-x2)=2

1+k2

(2k-x2)，，同理|AB|=

2 1+k2

k2

(2+kx2)，根据|AB|=|BC|，可得函数关系式；
（3）由（2）及k=2易得点B、C、A的坐标从而可求D的坐标．

解答：解：（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x²=4y．                         （4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+

x 2 2

4

（k＞0），

y=k(x-x2)+ x 2 2 4 x2=4y

消y得x²-4kx-x₂²+4kx₂=0，
易知x₂、x₃为该方程的两个根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
从而得|BC|=

1+k2

(x3-x2)=2

1+k2

(2k-x2)，（7分）
类似地，可设直线AB的方程为：y=-

1

k

(x-x2)+

x 2 2

4

，
从而得|AB|=

2 1+k2

k2

(2+kx2)，（9分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得x2=

2(k3-1)

k2+k

，（11分）l=f(k)=

4 1+k2 (k2+1)

k(k+1)

（k＞0）．                              （13分）
（3）由（2）及k=2可得点B、C、A的坐标分别为，B(

7

3

，

49

36

)，C(

17

3

，

289

36

)，A(-

13

3

，

169

36

)，所以D(-1，

409

36

)．                              （18分）

点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查函数关系式的求解，有一定的综合性．