Question

（2013•南通三模）过点P（-1，0）作曲线C：y=e^x的切线，切点为T₁，设T₁在x轴上的投影是点H₁，过点H₁再作曲线C的切线，切点为T₂，设T₂在x轴上的投影是点H₂，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）个切点T_n+1．则点T_n+1的坐标为

（n，eⁿ）

．

Answer 1

分析：设T₁（x₁，ex1），可得切线方程代入点P坐标，可解得x₁=0，即T₁（0，1），可得H₁（0，0），在写切线方程代入点H₁（0，0），可得T₂（1，e），H₂（1，0），…
由此可得推得规律，从而可得结论．

解答：解：设T₁（x₁，ex1），此处的导数值为ex1，
故切线方程为y-ex1=ex1（x-x₁），代入点P（-1，0）
可得0-ex1=ex1（-1-x₁），解得x₁=0，即T₁（0，1），H₁（0，0），
同理可得过点H₁再作曲线C的切线方程为y-ex2=ex2（x-x₂），代入点H₁（0，0），
可得0-ex2=ex2（0-x₂），可解得x₂=1，故T₂（1，e），H₂（1，0），
…
依次下去，可得T_n+1的坐标为（n，eⁿ）
故答案为：（n，eⁿ）

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，归纳推理是解决问题的关键，属中档题．