Question

已知向量

a

=(2cosωx，1)，

b

=(sinωx+cosωx，-1)，（ω∈R，ω＞0），设函数f(x)=

a

•

b

(x∈R)，若f（x）的最小正周期为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(2cosωx，1)，

b

=(sinωx+cosωx，-1)，（ω∈R，ω＞0），函数f(x)=

a

•

b

(x∈R)，代入向量数量积公式，易得到函数的解析式，根据f（x）的最小正周期为

π

2

，易得到ω的值；
（2）根据（1）的结论，可得到f（x）的解析式，根据正弦型函数的单调性的确定方法，即可得到f（x）的单调区间．

解答：解：f(x)=

a

•

b

=2cosωx•(sinωx+cosωx)-1
=sin2ωx+1+cos2ωx-1=

2

sin(2ωx+

π

4

)
（1）由T=

2π

2ω

=

π

2

⇒ω=2．
（2）以下均有k∈Z
令-

π

2

+2kπ≤4x+

π

4

≤

π

2

+2kπ⇒x∈[

kπ

2

-

3π

16

，

kπ

2

+

π

16

]
令

π

2

+2kπ≤4x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ⇒x∈[

kπ

2

+

π

16

，

kπ

2

+

5π

16

]
所以函数的单调递增区间为[

kπ

2

-

3π

16

，

kπ

2

+

π

16

]，单调递减区间为[

kπ

2

+

π

16

，

kπ

2

+

5π

16

]

点评：本题考查的知识点是正弦函数的单调性，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知条件结合平面向量的数量积运算公式，得到函数的解析式，是解答本题的关键．