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已知向量
a
=(2cosθ,1),
b
=(sinθ+cosθ,1),- 
π
2
<θ<
π
2

(I)若
a
b
,求θ的值
(II)设f(θ)=
a
b
,求函数f(θ)的最大值及单调递增区间.
分析:(I)由题设条件,
a
b
,,可得sinθ=cosθ,由此得tanθ=1,再由-
π
2
<θ<
π
2
,即可判断出θ的值;
(II)由f(θ)=
a
b
及两向量的坐标得到f(θ)的函数解析式,再由三角函数的最值的判断出函数的最值,利用正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间.
解答:解:(I)因为
a
b
,,可得sinθ=cosθ,由此得tanθ=1,又-
π
2
<θ<
π
2
,故有θ=
π
4

(II)f(θ)=
a
b
=2sinθcosθ+2cos2θ+1=sin2θ+cos2θ+2=
2
sin(2θ+
π
4
)+2
因为θ∈(-
π
2
π
2
)
,所以2θ+
π
4
(-
4
4
)

∴函数f(θ)的最大值为
2
+2,
2kπ-
π
2
<2θ+
π
4
<2kπ+
π
2

解得θ∈(kπ-
8
,kπ+
π
8
)

故函数的单调递增区间是(kπ-
8
,kπ+
π
8
)
点评:本题考查平面向量数量积的运算及三角函数的最值求法,解题的关键是熟练掌握向量的数量积的运算,平面向量数量积是考试的一个热点,应注意总结其运算规律,三角函数的最值在近年的高考中出现的频率也很高,在某些求最值的问题中,将问题转化到三角函数中利用三角函数的有界性求函数最值,方便了求最值
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ)
,若向量
a
b
的夹角为60°,求cos(α-β)的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2cosθ,2sinθ)
θ∈(
π
2
,π),
b
=(0,-1)
,则向量
a
b
的夹角为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(2cosωx,1),
b
=(sinωx+cosωx,-1)
,(ω∈R,ω>0),设函数f(x)=
a
b
(x∈R)
,若f(x)的最小正周期为
π
2

(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•马鞍山模拟)已知向量
a
=(2cos,2sinx)
,向量
b
=(
3
cosx,-cosx)
,函数f(x)=
a
b
-
3

(1)求函数f(x)(2)的最小正周期;
(3)求函数f(x)(4)的单调递增区间;
(5)求函数f(x)(6)在区间[
π
12
12
]
(7)上的值域.

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