Question

已知=(c，o)(c>o)，=(，)(R)，的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①；②，其中R；③动点P的轨迹C经过点B(0，一1)．

(1)求的值；

(2)求曲线C的方程；

(3)是否存在方向向量为≠0)的直线，使与曲线C交于两个不同的点M、N，且?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)解法一：

                   =，

当时，，所以．

解法二：设G(，y)，则G在直线上，

所以的最小值为点F到直线的距离，即，得．

(2)∵，∴PE垂直于直线

又．

    ∴点P在以F为焦点、为准线的椭圆上．

    设P，则有，

点B(0，－1)代入，解得．

    ∴曲线C的方程为．

(3)假设存在方向向量为的直线满足条件，则可设：，与椭圆联立，

消去y得．

    由判别式△>0，可得    ①

    设M()，N()，MN的中点P()，

    由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN．

    由韦达定理代入，可得到  ②

    联立①②，可得到，

    ∵，∴或．

    即存在∈(－1，0)∪(0，1)，使与曲线C交于两个不同的点M、N，且．