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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,准线方程为x=±
4
3
3
,点P(
3
y0)
在椭圆C上且|PF|=
1
2

(I)求椭圆C的方程; 
(II)已知圆O:x2+y2=1的一条切线与椭圆C相交于A、B两点,且切线AB与圆D的切点Q在y轴右侧,求△AQF周长的最小值.
分析:(Ⅰ)题目给出了椭圆的准线方程,则有
a2
c
=
4
3
3
,给出了点P的横坐标可求点P到右准线的距离,又给出了点P到右焦点的距离,则可得到椭圆的离心率,由准线方程和离心率的值联立可求a、b、c,则椭圆方程可求;
(Ⅱ)设出圆的切线与椭圆的一个交点A,在直角三角形OQA中把|AQ|用A到原点距离与圆的半径表示,结合点A在椭圆上把
|AQ|化简,由焦半径公式表示出|AF|,可求得|AQ|+|AF|为定值,要使△AQF的周长最小,则只要|QF|最小即可,显然当Q是圆与x轴的交点时|QF|最小,则最小值可求.
解答:解:(Ⅰ)由准线方程得
a2
c
=
4
3
3
①,因为点P的横坐标为
3
,所以点P到右准线的距离为
4
3
3
-
3
=
3
3

又P点到右焦点的距离|PF|=
1
2
,所以
c
a
=
1
2
3
3
=
3
2
②,联立①②得,a=2,c=
3
,又b2=a2-c2,∴b=1.
故椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)如图,

设点A(x0,y0),则|AQ|=
|AO|2-1
=
x02+y02-1

又由于点A在椭圆上,则
x02
4
+y02=1
,所以x02+y02-1=
3
4
x02

所以|AQ|=
3
4
x02
=
3
2
x0
  (x0>0,因为切点Q在y轴右侧),
令由焦半径公式可得|AF|=2-
3
2
x0

于是|AQ|+|AF|=
3
2
x0+2-
3
2
x0=2

要使△AQF的周长最小,则只要|QF|最小即可,
显然当Q的坐标为(1,0)时,|QF|最短,为
3
-1

所以,△AQF周长的最小值为2+
3
-1=
3
+1
点评:本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线与椭圆的关系,采用了设而不求的方法,运用了整体运算思想,求三角形面积最小值时运用了数学转化思想,题目综合考查了学生综合思维能力和灵活计算能力,属难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,且经过点P(1,
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短轴长为2
3
,右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A、B是椭圆C上的不同两点,点D(-4,0),且满足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直线AB的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)经过点A(1,
3
2
),且离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-1,0)能否作出直线l,使l与椭圆C交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过坐标原点O.若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•房山区二模)已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的长轴长是4,离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设过点P(0,-2)的直线l交椭圆于M,N两点,且M,N不与椭圆的顶点重合,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短轴长为2,离心率为
2
2
,设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,过A,B作直线x=2的垂线AP,BQ,垂足分别为P,Q.记λ=
AP+BQ
PQ
,若直线l的斜率k≥
3
,则λ的取值范围为
 

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