Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，且经过点P(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率和将点P坐标代入椭圆方程中，解得a²，b²，从而求出椭圆方程．
（2）第一步：根据椭圆方程先求出左焦点，再求出以椭圆C的长轴为直径的圆的方程及圆心和半径，
    第二步：求出以PF为直径的圆的方程及圆心和半径，再根据圆心距与两半径的关系得到两圆相切．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，且经过点P(1，

3

2

)．

a2-b2 a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1

即

3a2-4b2=0 1 a2 + 9 4b2 =1

解得

a2=4 b2=3

∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵a²=4，b²=3，∴c= 

a2-b2

=1．
∴椭圆C的左焦点坐标为（-1，0）．
以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x²+y²=4，圆心坐标是（0，0，半径为2
以PF为直径的圆的方程为x2+(y-

3

4

)2=

25

16

，圆心坐标为（0，

3

4

），半径为

5

4

∵两圆心之间的距离为 

(0-0)2+( 3 4 -0)2

=2-

5

4

，
故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．

点评：此题考查椭圆方程的求法，及两圆之间位置关系的判定，尤其是两圆位置关系的判定是解析几何在高考中的热点问题．