Question

一数列{a_n}的前n项的平均数为n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n+1

，证明数列{b_n}是递增数列；
（3）设f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

an

2n+1

，是否存在最大的数M？当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）利用平均数的意义和当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）作差b_n+1-b_n，证明其大于0即可；
（3）利用（2）bn=

2n-1

2n+1

递增，因此有最小值

1

3

．解出f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，即可知道是否存在最大的数M．

解答：解：（1）由题意可得n=

a1+a2+…+an

n

，∴Sn=n2，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时也成立．故a_n=2n-1．
（2）作差b_n+1-b_n=

an+1

2n+3

-

an

2n+1

=

2n+1

2n+3

-

2n-1

2n+1

=

(2n+1)2-(2n-1)(2n+3)

(2n+1)(2n+3)

=

4

(2n+1)(2n+3)

＞0，
∴b_n+1＞b_n对于任意正整数n都成立，因此数列{b_n}是递增数列．
（3）∵bn=

2n-1

2n+1

递增，∴有最小值

1

3

，
∴f(x)=-

x2

3

+

4x

3

-

2n-1

2n+1

≤-

x2

3

+

4x

3

-

1

3

≤0，解得x²-4x+1≥0，x≥2+

3

，或x≤2-

3

．
所以M=2-

3

．
存在最大的数M=2-

3

，当x≤M时，对于一切非零自然数n，都有f（x）≤0．

点评：熟练掌握数列的通项公式与其前n项和之间的关系、作差法比较数的大小、一元二次不等式的解法及其转化法等是解题的关键．