Question

在数列中，a₁=1，前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若，求数列{（-1）ⁿb_n}的前n项和T_n；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法一：由已知变形得，利用“累乘求积”即可得出；
方法二：利用得到a_n的关系式，再利用“累乘求积”即可得出；
（2）根据所求的数列的通项公式的特点，利用等差数列的前n项和公式，可先求出当n为偶数时的T_n，进而即可得出n为奇数时的T_n；
（3）通过构造函数，利用函数的单调性及裂项求和即可证明．
解答：解：（1）方法1：∵，且S₁=a₁=1，
∴当n≥2时，，且S₁=1也适合．
当n≥2时，，且a₁=1也适合，∴．
方法2：∵nS_n+1-（n+3）S_n=0，∴（n-1）S_n-（n+2）S_n-1=0，
两式相减，得n（S_n+1-S_n）=（n+2）（S_n-S_n-1），即na_n+1=（n+2）a_n，即．
又∵可求得a₂=3，∴也适合上式．综上，得．
当n≥2时，，且a₁=1也适合，
∴．
（2）．设．
当n为偶数时，∵，
∴．
当n为奇数（n≥3）时，，且T₁=c₁=-4也适合上式．
综上：得．
（3）令f（x）=x-ln（1+x）．
当x＞0时，∵，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．
令，得，
∴，
∴，
∴．
点评：数列掌握数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、通项公式与前n项和的关系、“累乘求积”、构造函数并利用函数的单调性及裂项求和是解题的关键．