Question

9．下列命题中，
①方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲线C可能为圆；
②$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充要条件；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
④“9＜k＜15”是“方程$\frac{{x}^{2}}{15-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-9}$=1表示椭圆”的充要条件．
⑤设P是以F₁、F₂为焦点的双曲线一点，且$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的面积为9，则双曲线的虚轴长为6；其中真命题的序号是①③⑤（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 当t=$\frac{5}{2}$时，方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲线C为圆，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断③；根据k=12时方程表示圆，可判断④；求出满足条件的虚轴长，可判断⑤

解答 解：①当t=$\frac{5}{2}$时，方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲线C为圆，故正确；
②$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$表示的平面区域如图中红色阴影部分所示，
$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$表示的平面区域如图中灰色阴影部分所示；

由图可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充分不必要条件，
故错误；
③一个命题的逆命题与否命题，互为逆否命题，真假性相同，故一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真，故正确；
④“9＜k＜12，或12＜k＜15”是“方程$\frac{{x}^{2}}{15-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-9}$=1表示椭圆”的充要条件，故错误．
⑤设P是以F₁、F₂为焦点的双曲线一点，且$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=0，若△PF₁F₂的面积为9，则b²=9，b=3，双曲线的虚轴长2b=6，故正确；
故答案为：①③⑤

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了圆锥曲线的方程，圆锥曲线的性质，四种命题，充要条件等知识点，难度中档．