Question

【题目】已知函数（），.

（1）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；

（2）若幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由题设可得，令（），利用导数研究函数的单调性，可得，从而可得结果；（2）由题设有，令（），两次求导，分两种情况讨论，可得①时；②时，，综合两种情况可得结果.

详解：（1）由题设可得，令（）

则令得.

	递减	极小值	递增

∵，，，

且有两个不等实根，∴，

即

∴

（2）由题设有，令（），

则，令，则

又，∴.∴在在单调递增.

又，

①，即时，.

所以在内单调递增，，所以

②，即时，由在内单调递增，

且∵，.

∴使得.

	递减	极小值	递增

所以的最小值为.

又，所以 .

因此，要使当时，恒成立，只需，即即可.

解得，此时，可得，

以下求出的取值范围.

设，，得.

所以在上单调递减，从而.

综上①②所述，的取值范围.