Question

15．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，n=1，2，3，…．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想{a_n}通项公式；
（2）记b_n=$\frac{3}{2}$a_na_n+1，其中，a_n是（1）的中猜想的结论，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=2、a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，直接代入计算即可；
（2）通过${a_n}=\frac{2}{6n-5}$，分离分母可得b_n=$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$，并项相加计算即可．

解答 （1）解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{3{a}_{1}+1}$=$\frac{2}{3×2+1}$=$\frac{2}{7}$，
a₃=$\frac{{a}_{2}}{3{a}_{2}+1}$=$\frac{\frac{2}{7}}{3×\frac{2}{7}+1}$=$\frac{2}{13}$，
a₄=$\frac{{a}_{3}}{3{a}_{3}+1}$=$\frac{\frac{2}{13}}{3×\frac{2}{13}+1}$=$\frac{2}{19}$，
猜想：${a_n}=\frac{2}{6n-5}$；
（2）证明：∵${a_n}=\frac{2}{6n-5}$，
∴${b_n}=\frac{3}{2}{a_n}{a_{n+1}}=\frac{3}{2}•\frac{2}{6n-5}•\frac{2}{6n+1}$
=$\frac{6}{（6n-5）（6n+1）}=\frac{1}{6}（\frac{6}{6n-5}-\frac{6}{6n+1}）=\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{13}）+…+（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$=$1-\frac{1}{6n+1}$，
∵n∈N^*，∴$\frac{1}{6n+1}＞0$，即$1-\frac{1}{6n+1}＜1$，
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

点评 本题是一道关于数列的综合题，考查求数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．