Question

6．（1）已知a，b∈R，求证2（a²+b²）≥（a+b）²．
（2）已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2，求证a，b中至少有一个不小于0．

Answer 1

分析 （1）直接利用分析法、综合法的证明步骤证明即可；
（2）假设a＜0，b＜0，则a+b＜0，又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．

解答 证明：（1）证法1：要证2（a²+b²）≥（a+b）²，
只要证2a²+2b²≥a²+2ab+b²，
只要证a²+b²≥2ab，
而a²+b²≥2ab显然成立，
所以2（a²+b²）≥（a+b）²成立．
证法2：因为2（a²+b²）-（a+b）²
=2a²+2b²-（a²+2ab+b²）
=a²+b²-2ab
=（a-b）²≥0，
所以2（a²+b²）≥（a+b）²．
（2）假设a，b都小于0，即a＜0，b＜0，
所以a+b＜0，
又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．
所以a，b中至少有一个不小于0．

点评 本题考查分析法的证明方法，考查用反证法证明数学命题，推出矛盾是解题的关键，考查逻辑推理能力．