Question

18．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1，（a＞b＞0）过两点$（-2，0），（{\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，抛物线C₂的顶点在原点，焦点在x轴上，准线方程为x=-1．
（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足直线OM与直线ON垂直？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将点$（-2，0），（{\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$，进而计算即得结论；
（2）通过设直线l的方程为x-1=my，两交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），通过联立$\left\{\begin{array}{l}{x-1=my}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，利用韦达定理及k_OM•k_ON=-1，计算即得结论．

解答 解：（1）把点$（-2，0），（{\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$代入$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$，
得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}=1\\ \frac{2}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=4\\{b^2}=1\end{array}\right.$，
∴椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有$\frac{p}{2}=1$，
∴2p=4，
∴抛物线的标准方程为y²=4x；
（2）结论：存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．
理由如下：
假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），
设直线l的方程为x-1=my，
两交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${k_{OM}}=\frac{y_1}{x_1}，{k_{ON}}=\frac{y_2}{x_2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-1=my}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去x整理得：（m²+4）y²+2my-3=0，
判别式△=16（m²+3），两根为${y_{1，2}}=\frac{{-2m±\sqrt{△}}}{{2（{m^2}+4）}}$，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，①
∴${x_1}{x_2}=（1+m{y_1}）（1+m{y_2}）=1+m（{y_1}+{y_2}）+{m^2}{y_1}{y_2}$，
=1+m•（-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$）+m²•（-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$）
=$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$，②
由直线OM与直线ON垂直，
即k_OM•k_ON=-1，得x₁x₂+y₁y₂=0                （*）
将①②代入（*）式，得
$\frac{4-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$=0，
解得m=±$\frac{1}{2}$，
所以假设成立，即存在直线l满足条件，
且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．