Question

4．某园林公司准备绿化一块半径为200米，圆心角为$\frac{π}{4}$的扇形空地（如图的扇形OPQ区域），扇形的内接矩形ABCD为一水池，其余的地方种花，若∠COP=α，矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．
（1）试将S表示为关于α的函数，求出该函数的表达式；
（2）角α取何值时，水池的面积 S最大，并求出这个最大面积．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα$（0＜α＜\frac{π}{4}）$，求出BC=200sinα，AB=200cosα-200sinα，得到S=$20000\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-20000$，$（0＜α＜\frac{π}{4}）$即可．
（2）利用三角函数的最值，求解$α=\frac{π}{8}$时，水池的面积S最大，最大面积为$20000\sqrt{2}-20000$平方米．

解答 解：（1）在Rt△OBC中，OB=200cosα，BC=200sinα$（0＜α＜\frac{π}{4}）$…（1分）
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}=\;tan\frac{π}{4}=1$，
∴OA=DA=BC=200sinα…（2分）
∴AB=OB-OA=200cosα-200sinα，…（4分）
故S=AB•BC=（200cosα-200sinα）•200sinα
=40000sinαcosα-40000sin²α=20000sin2α-20000（1-cos2α）
=20000（sin2α+cos2α）-20000…（6分）
=$20000\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）-20000$，$（0＜α＜\frac{π}{4}）$…（8分）
（2）由$0＜α＜\frac{π}{4}$，得$\frac{π}{4}＜2α+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，
所以当$2α+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{8}$时，…（9分）
S_最大=$20000\sqrt{2}-20000$…（11分）
因此，当$α=\frac{π}{8}$时，水池的面积S最大，最大面积为$20000\sqrt{2}-20000$平方米        …（12分）

点评 本题考查函数的函数的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．