Question

【题目】有2002名运动员，号码依次为．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么，被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．

Answer 1

【答案】43

【解析】

可选出号码为这43名运动员为仪仗队员作为选取方案，即可满足题目要求．

理由如下：

因为选出这43名运动员作仪仗队员后，剩下运动员的号码（除1号外）的任何两个号码数的积将大于．而1与任何一个号码数相乘不会等于第三个不同的数，所以，剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．

现在证明：43是选为仪仗队的运动员的最少人数．也就是证明：当选取42个运动员为仪仗队员后，余下的队员中至少有这样的三个号码数，其中两个号码数的乘积等于第三个号码数．为此，我们考察三元数组：．

即共43组．

因为函数在上是单调递增的，所以，写出的数目是不同的，并且都不超过．这样的三元数组的个数为43．如果选出的运动员少于43个，至多为42个，上述43个三元数组中，至少要有一组三个数没被选．则这三个数作为剩下的运动员的号码，其中一个数等于另外两个数的乘积，就不满足题设条件的要求了．所以，选为仪仗队的运动员至少要有43个．