Question

13．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是正三角形，且A₁A=AB，顶点A₁在底面ABC上的射影是△ABC的中心．
（1）求证：AA₁⊥BC；
（2）求直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由A₁O⊥底面ABC，得A₁O⊥BC，再由O是△ABC的中心，连接AO交BC于D，则AD⊥BC，由线面垂直的判定可得BC⊥平面A₁AD，进一步得到AA₁⊥BC；
（2）取B₁C₁的中点D₁，连接A₁D₁，DD₁，由（1）知，BC⊥平面ADD₁A₁，由线面垂直的判定和性质可得直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角．求解直角三角形得答案．

解答 （1）证明：如图，
∵A₁O⊥底面ABC，∴A₁O⊥BC，
∵△ABC为正三角形，O为底面三角形的中心，
连接AO交BC于D，则AD⊥BC，
又AD∩A₁D=O，∴BC⊥平面A₁AD，
则AA₁⊥BC；
（2）解：取B₁C₁的中点D₁，连接A₁D₁，DD₁，
由（1）知，BC⊥平面ADD₁A₁，
∴平面ADD₁A₁⊥平面BB₁C₁C，且平面ADD₁A₁∩平面BB₁C₁C=DD₁，
过A₁作A₁H⊥DD₁，垂足为H，连接BH，
则∠A₁BH为直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角．
设A₁A=AB=2a，可得${A}_{1}O=\frac{2\sqrt{6}}{3}a$，
由AD•A₁O=AA₁•A₁H，得${A}_{1}H=\frac{AD•{A}_{1}O}{{A}_{1}A}=\frac{\sqrt{3}a•\frac{2\sqrt{6}}{3}a}{2a}$=$\sqrt{2}a$．
在Rt△A₁HB中，sin$∠{A}_{1}BH=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角为45°．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查了线面角的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．