【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 =1(a>b>0)的离心率为
,长轴长为4,过椭圆的左顶点A作直线l,分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P,Q.
(1)若直线l的斜率为 ,求
的值;
(2)若 =λ
,求实数λ的取值范围.
【答案】
(1)解:由条件可得,2a=4,e= =
,a2﹣b2=c2,
解得a=2,b=c= ,
可得椭圆的方程为 ,圆的方程为x2+y2=4;
(方法一)直线l的方程为 ,由
得:3x2+4x﹣4=0,
解得 ,所以
;
所以 ,又因为原点O到直线l的距离
,
所以 ,
所以 ;
(方法二)由 得3y2﹣4y=0,所以yP=
,
由 可得5y2﹣8y=0,解得yQ=
,
所以 =
=
×
=
(2)解:(方法一)若 ,则λ=
﹣1,
设直线l:y=k(x+2),由 得,(2k2+1)x2+8k2﹣4=0,
即(x+2)[(2k2+1)x+(4k2﹣2)]=0,
所以 ,得
;
所以 ,
即 ,同理Q(
,
),
,
即有λ= ﹣1=1﹣
,
由k2>0,可得0<k2<1.
(方法二)由方法一可得,λ= ﹣1=
﹣1=
﹣1=1﹣
,
由题意:k2>0,所以0<λ<1
【解析】(1)由题意可得a=2,运用离心率公式和a,b,c的关系可得b,c,进而得到椭圆方程和圆的方程,设出直线l的方程代入椭圆方程,求得弦长AP,运用圆的弦长公式可AQ,进而所求之比;或联立直线的方程和椭圆方程(或圆的方程)求得P,Q的纵坐标,即可得到所求之比;(2)若 ,则
,设直线l:y=k(x+2),代入椭圆方程,求得交点,以及弦长AP,代入圆方程可得交点,可得弦长AQ,可得实数λ的式子,运用不等式的性质即可得到所求范围;或将直线方程代入椭圆方程(圆方程)求得P,Q的纵坐标,由坐标之比,结合不等式的性质,即可得到所求范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,D是到原点的距离不大于1的点构成的区域,E是满足不等式组 的点(x,y)构成的区域,向D中随机投一点,则所投的点落在E中的概率是 .
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【题目】已知恒等式(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n .
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值;
(2)当n≥6时,求证: a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n<49n﹣2 .
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【题目】设函数f(x)=xex﹣asinxcosx(a∈R,其中e是自然对数的底数).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若对于任意的x∈[0, ],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间 上有两个零点?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了解甲、乙两厂的产品质量,分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),其测量数据的茎叶图如图所示.
规定:当产品中此种元素的含量大于18毫克时,认定该产品为优等品.
(1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小;
(2)从乙厂抽出的上述10件产品中随机抽取3件,求抽到的3件产品中优等品数X的分布列及数学期望.
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【题目】已知数列是公差为正数的等差数列,其前
项和为
,
且,
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列满足
,
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数,使得
,
,
成等差数列?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
.若直线l与曲线C交于A,B,求线段AB的长.
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【题目】在圆上任取一点
,过点
作
轴的垂线段
,
为垂足.
,当点
在圆上运动时,
(1)求点的轨迹
的方程;
(2) 若,直线
交曲线
于
、
两点(点
、
与点
不重合),且满足
.
为坐标原点,点
满足
,证明直线
过定点,并求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】已知命题p:x∈[-1,2],函数f(x)=x2-x的值大于0,若p∨q是真命题,则命题q可以是( )
A. x0∈(-1,1),cos x0<
B. “-3<m<0”是“函数f(x)=x+log2x+m在区间上有零点”的必要不充分条件
C. x=是曲线f(x)=
sin 2x+cos 2x的一条对称轴
D. 若x∈(0,2),则在曲线f(x)=ex(x-2)上任意一点处的切线的斜率不小于
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