Question

【题目】设函数f（x）=xex﹣asinxcosx（a∈R，其中e是自然对数的底数）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若对于任意的x∈[0， ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间 上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=xex，f′（x）=ex（x+1），

令f′（x）=0，得x=﹣1，

列表如下：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	↘	极小值	↗

所以函数f（x）的极小值为 ，无极大值

（2）解：①当a≤0时，由于对于任意 ，有sinxcosx≥0，

所以f（x）≥0恒成立，当a≤0时，符合题意；

②当0＜a≤1时，因为f′（x）≥ex（x+1）﹣acos2x≥e0（0+1）﹣acos0=1﹣a≥0，

所以函数f（x）在 上为增函数，所以f（x）≥f（0）=0，即当0＜a≤1，符合题意；

③当a＞1时，f′（0）=1﹣a＜0， ，

所以存在 ，使得f′（α）=0，且在（0，α）内，f′（x）＜0，

所以f（x）在（0，α）上为减函数，所以f（x）＜f（0）=0，

即当a＞1时，不符合题意，

综上所述，a的取值范围是（﹣∞，1]

（3）解：不存在实数a，使得函数f（x）在区间 上有两个零点，

由（2）知，当a≤1时，f（x）在 上是增函数，且f（0）=0，

故函数f（x）在区间 上无零点，

当a＞1时，f′（x）≥ex（x+1）﹣acos2x，

令g（x）=ex（x+1）﹣acos2x，g′（x）=ex（x+2）+2asin2x

当 时，恒有g′（x）＞0，所以g（x）在 上是增函数，

由 ，

故g（x）在 上存在唯一的零点x0，即方程f′（x）=0在 上存在唯一解x0，

且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当 ，f′（x）＞0，

即函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在 上单调递增，

当x∈（0，x0）时，f（x）＜f（0）=0，即f（x）在（0，x0）无零点；

当 时， ，

所以f（x）在 上有唯一零点，

所以，当a＞1时，f（x）在 上有一个零点，

综上所述，不存在实数a，使得函数f（x）在区间 上有两个零点

【解析】（1）将a=0代入f（x），求出函数的导数，列出表格，求出函数的极值即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的导数，确定函数的单调区间，从而确定a的范围即可；（3）求出当a≤1时，函数f（x）在区间 上无零点，a＞1时，求出函数的导数，根据函数的单调性得到f（x）在 上有一个零点，从而判断结论即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．