Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： =1（a＞1）的左、右顶点分别为A、B，P是椭圆C上任一点，且点P位于第一象限．直线PA交y轴于点Q，直线PB交y轴于点R．当点Q坐标为（0，1）时，点R坐标为（0，2）

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证： 为定值；
（3）求证：过点R且与直线QB垂直的直线经过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），

当点Q坐标为（0，1）时，点R坐标为（0，2），

即有kPA= ，直线PA：y= x+1，

kPB=﹣ ，直线PA：y=﹣ x+2，

解得交点P（ ， ），

代入椭圆方程可得 + =1，

解得a= ，

则椭圆C的标准方程为 =1

（2）证明：设Q（0，s），R（0，t），

由椭圆的方程可得A（﹣ ，0），B（ ，0），

即有直线PA：y= x+s，直线PB的方程为y=﹣ x+t，

解得交点P（ ， ），

代入椭圆方程可得 + =1，

化简可得st=2，

即有 =st=2为定值；

（3）证明：由（2）可得st=2，即t= ，

直线QB的斜率为k=﹣ ，

即有过点R且与直线QB垂直的直线方程为y= x+t，

即为y= ，令x=﹣ ，可得y=0，

则过点R且与直线QB垂直的直线经过定点，坐标为（﹣ ，0）

【解析】（1）求得A，B的坐标，直线PA，PB的方程，求交点P，代入椭圆方程，解方程，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设Q（0，s），R（0，t），求得直线PA，PB的方程，求交点P，代入椭圆方程，化简整理可得st=2，再由向量的数量积的坐标表示可得定值；（3）求得QB的斜率，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得垂线的方程，由st=2，代入，结合直线恒过定点的求法，可得定点．