Question

【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切.A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,过点G作GH⊥x轴于点H,延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得，再由椭圆的离心率求解的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设，则，可得和的方程，又由点在椭圆上，代入化简得，又由原点到直线QN的距离，即可作差判断.

(1)由题意可得b==1.

又∵椭圆C的离心率e==,a2=b2+c2,∴a2=4,

∴椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)设G(x0,y0),则Q(x0,2y0).

易知A(-2,0),B(2,0),可得直线AQ的方程为y=(x+2),

令x=2,可得M,∴N,

则直线QN的方程为y-2y0=(x-x0),

即2x0y0x-(-4)y-8y0=0①.

又∵点G在椭圆C上,

∴+=1,∴①式可化为x0x+2y0y-4=0,

∴原点(0,0)到直线QN的距离为=2.

又易知以AB为直径的圆O的半径为2,

故直线QN与以AB为直径的圆O相切.