【题目】已知斜率为k的直线l经过点(-1,0),且与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N.当k=时,弦MN的长为
.
(1)求抛物线C的标准方程.
(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B(1,-1),判断直线NQ是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)直线方程为,代入曲线的方程,由此利用弦长公式能求出抛物线C的标准方程;
(2)设,得到直线MN的方程,同理得到MQ和NQ的方程,将点
代入MN的方程,得到
,由
在直线MQ上,联立即可得到结论.
(1)当k=时,直线l的方程为y=(x+1),即x=2y-1.
联立消去x得y2-4py+2p=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=|y1-y2|=
×
=4
,解得p=2或p=-(舍去),
所以抛物线C的标准方程为y2=4x.
(2)设M(t2,2t),N(,2t1),Q(
,2t2),则k=
=
,则直线MN的方程为y-2t=
(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直线MQ的方程为2x-(t+t2)y+2tt2=0,直线NQ的方程为2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.
由点(-1,0)在直线MN上,可得tt1=1,即t=①.由B(1,-1)在直线MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,将①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,将②代入直线NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直线NQ过定点(1,-4).
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【题目】已知函数f(x)=sinx﹣xcosx.
(1)讨论f(x)在(0,2π)上的单调性;
(2)若关于x的方程f(x)﹣x2+2πx﹣m=0在(0,2π)有两个根,求实数m的取值范围.
(3)求证:当x∈(0, )时,f(x)<
x3 .
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【题目】给出如下四个说法:
①已知p,q都是命题,若p∧q为假命题,则p,q均为假命题;
②命题“若a>b,则3a>3b-1”的否命题为“若a≤b,则3a≤3b-1”;
③命题“x∈R,x2+1≥0”的否定是“x0∈R,+1<0”;
④“a≥0”是“x0∈R,a+x0+1≥0”的充分必要条件.
其中正确说法的序号是 ( )
A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④
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【题目】某小学对一年级的甲、乙两个班进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”影响的试验,其中甲班为试验班(实施了数学学前教育),乙班为对比班(和甲班一样进行常规教学,但没有实施数学学前教育),在期末测试后得到如下数据:
优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
甲班 | 30 | 20 | 50 |
乙班 | 25 | 25 | 50 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x﹣1)2+y2=2,圆C2:(x﹣m)2+(y+m)2=m2 . 圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是 .
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为
,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+
=0相切.A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,过点G作GH⊥x轴于点H,延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表如下所示:
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
A班 | 14 | 6 | 20 |
B班 | 7 | 13 | 20 |
总计 | 21 | 19 | 40 |
则下列说法正确的是 ( )
A. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,坐标原点O到直线x+y-b=0的距离为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A,B两点,对于椭圆C上一点M,若(λ>0,μ>0),求λμ的最大值.
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