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    【题目】已知斜率为k的直线l经过点(-1,0),且与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N.当k=时,弦MN的长为.

    (1)求抛物线C的标准方程.

    (2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B(1,-1),判断直线NQ是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.

    【答案】（1）；（2）见解析

    【解析】

    （1）直线方程为，代入曲线的方程，由此利用弦长公式能求出抛物线C的标准方程；

    （2）设，得到直线MN的方程，同理得到MQ和NQ的方程，将点代入MN的方程，得到，由在直线MQ上，联立即可得到结论.

    (1)当k=时,直线l的方程为y=(x+1),即x=2y-1.

    联立消去x得y2-4py+2p=0.

    设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=|y1-y2|=×=4,解得p=2或p=-(舍去),

    所以抛物线C的标准方程为y2=4x.

    (2)设M(t2,2t),N(,2t1),Q(,2t2),则k==,则直线MN的方程为y-2t=(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直线MQ的方程为2x-(t+t2)y+2tt2=0,直线NQ的方程为2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.

    由点(-1,0)在直线MN上,可得tt1=1,即t=①.由B(1,-1)在直线MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,将①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,将②代入直线NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直线NQ过定点(1,-4).

    练习册系列答案
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    【题目】给出如下四个说法：

    ①已知p，q都是命题，若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；

    ②命题“若a>b，则3a>3b-1”的否命题为“若a≤b，则3a≤3b-1”；

    ③命题“x∈R，x2+1≥0”的否定是“x0∈R，+1<0”；

    ④“a≥0”是“x0∈R，a+x0+1≥0”的充分必要条件．

    其中正确说法的序号是 ( )

    A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④

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    【题目】某小学对一年级的甲、乙两个班进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”影响的试验，其中甲班为试验班(实施了数学学前教育)，乙班为对比班(和甲班一样进行常规教学，但没有实施数学学前教育)，在期末测试后得到如下数据：

    优秀人数

    非优秀人数

    总计

    甲班

    30

    20

    50

    乙班

    25

    25

    50

    总计

    55

    45

    100

    能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为进行“数学学前教育”对“小学数学成绩优秀”有积极作用？

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    【题目】在平面直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣1）2+y2=2，圆C2：（x﹣m）2+（y+m）2=m2 ． 圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是 ．

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    【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切.A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.

    (1)求椭圆C的标准方程;

    (2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,过点G作GH⊥x轴于点H,延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.

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    【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表如下所示:

    优秀

    非优秀

    总计

    A班

    14

    6

    20

    B班

    7

    13

    20

    总计

    21

    19

    40

    则下列说法正确的是 ( )

    A. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关

    B. 有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关

    C. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关

    D. 有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关

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    (1)求椭圆C的标准方程;

    (2)设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A,B两点,对于椭圆C上一点M,若(λ>0,μ>0),求λμ的最大值.

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