Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）设，若不等式对任意恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2) 设 ,即h(x)>0恒成立，对函数求导，分，，三种情况得到函数单调性，进而得到结果.

（1）当时，，，切点为，

，

，

曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）设 ，

，

不等式对任意恒成立，

即函数在上的最小值大于零.

①当，即时，在上单调递减，

的最小值为，

由可得，

，

.

②当，即时，在上单调递增，

最小值为，

由可得，即.

③当，即时，可得最小值为，

，

，

故.即，

综上可得，的取值范围是.