Question

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角A-PB-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点H，连接CH，通过证明BC⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PAC平面PBC；
（2）取AB的中点H，连接CH，推出CH⊥PB，过H作HG⊥PB于G，连接CG，说明PB⊥平面CGH，说明∠CGH为二面角A-PB-C的平面角，然后求解二面角A-PB-C的平面角的正切值．

解答：解：（1）取AB的中点H，连接CH，则CH⊥AB
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB∥DC，∠DAB=90°，
∴AC=BC=

2

．
又AC²+BC²=2+2=AB²，∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC…．（7分）
（2）取AB的中点H，连接CH，则由题意得
CH⊥AB，又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CH，
则CH⊥平面PAB．所以CH⊥PB，过H作HG⊥PB于G，连接CG，则PB⊥平面CGH，
所以CG⊥PB，则∠CGH为二面角A-PB-C的平面角…（10分） 
∵PA=1，∴CH=1，AB=2，PB=

PA2+AB2

=

5

则GH=BHsin∠PBA=BH•

PA

AB

=

1

5

，
∴tan∠CGH=

CH

GH

=

5

…（13分）
故二面角A-PB-C的平面角的正切值为

5

…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的求法，考查逻辑推理能力与计算能力．