Question

10．已知ABCD是直角梯形，AB=AD，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥BD，把△ABD沿BD折起，使平面A′BD⊥面BCD．
（1）求证：平面A′BD⊥面A′DC；
（2）求A′D与BC所成的角．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出CD⊥平面A′BD，由此能证明平面A′BD⊥面A′DC．
（2）由AD∥BC，得∠AA′D是A′D与BC所成的角，由已知条件推导出△AA′D是等边三角形，由此能求出A′D与BC所成的角为60°．

解答 （1）证明：∵ABCD是直角梯形，AB=AD，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥BD，
把△ABD沿BD折起，使平面A′BD⊥面BCD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵CD?平面A′DC，∴平面A′BD⊥面A′DC．
（2）解：∵AD∥BC，∴∠AA′D是A′D与BC所成的角，
设AB=AD=1，∵AB⊥BC，CD⊥BD，平面A′BD⊥面A′DC，
把△ABD沿BD折起，使平面A′BD⊥面BCD，
∴AD=AB=A′D=A′B=1，∴DC=DB=$\sqrt{2}$，∴BC=2，
作AO⊥BD，交BD于O，则A′O⊥BD，
AO=A′O=$\frac{1×1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AO⊥A′O，
∴AA′=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1，
∴△AA′D是等边三角形，∴∠AA′D=60°，
∴A′D与BC所成的角为60°．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．