Question

19．已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性；
（2）对参数a进行讨论，然后利用导数f′（x）≤0（注意函数的定义域）来解答．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），---------（1分）
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2x+1=-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}$-------------------（2分）
令f′（x）=0，即$-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=0$，解得$x=-\frac{1}{2}$或x=1．
∵x＞0，∴$x=-\frac{1}{2}$舍去．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
即单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0．---（6分）
（2）法一：∵f（x）=lnx-a²x²+ax其定义域为（0，+∞），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2{a^2}x+a=\frac{{-2{a^2}{x^2}+ax+1}}{x}=\frac{-（2ax+1）（ax-1）}{x}$
①当a=0时，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，
∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数，不合题意----------（8分）
②当a＞0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即$x＞\frac{1}{a}$．
此时f（x）的单调递减区间为$（\frac{1}{a}，+∞）$．
依题意，得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}≤1\\ a＞0.\end{array}\right.$解之得a≥1．-------------------（12分）
③当a＜0时，f'（x）＜0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）＞0（x＞0），即$x＞\frac{1}{2a}$•
此时f（x）的单调递减区间为$（-\frac{1}{2a}，+∞）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2a}≤1\\ a＜0.\end{array}\right.$得$a≤-\frac{1}{2}$（14分）
综上，实数a的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[1，+∞）$-----------（16分）
法二：∵f（x）=lnx-a²x²+ax，x∈（0，+∞）
∴$f'（x）=\frac{{-2{a^2}{x^2}+ax+1}}{x}$
由f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，可得-2a²x²+ax+1≤0在区间（1，+∞）上恒成立．--------------8分
①当a=0时，1≤0不合题意----------------------------------10
②当a≠0时，可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4a}＜1\\ f（1）≤0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{1}{4}或a＜0\\-2{a^2}+a+1≤0\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞\frac{1}{4}或a＜0\\ a≥1或a≤-\frac{1}{2}\end{array}\right.$-----------14分
∴$a∈（-∞，-\frac{1}{2}]∪[1，+∞）$----------------------------------16分

点评 本题以函数为载体，综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题，考查分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．