Question

7．某椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）满足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=3，若离心率的范围为$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求椭圆长轴长的范围．

Answer 1

分析 离心率的范围为$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\frac{1}{2}≤\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{2}{3}$，可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$范围，又满足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=3，可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3{a}^{2}-1}$．代入利用不等式的性质即可得出．

解答 解：∵离心率的范围为$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}≤\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{2}{3}$，
化为$\frac{1}{3}$≤$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
又满足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=3，
∴b²=$\frac{{a}^{2}}{3{a}^{2}-1}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3{a}^{2}-1}$．
∴$\frac{1}{3}≤\frac{1}{3{a}^{2}-1}≤\frac{1}{2}$，
化为$1≤{a}^{2}≤\frac{4}{3}$，a＞0，
∴$1≤a≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$2≤2a≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴椭圆长轴长的范围是$[2，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查了椭圆的性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．