Question

12．已知，x，y，z∈R⁺，且x²+y²+z²=1，则$\frac{（z+1）^{2}}{xyz}$的最小值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得1-z²=x²+y²，根据基本不等式x²+y²≥2xy，化简即可．

解答 解：由题意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
S=$\frac{（z+1）^{2}}{xyz}$≥$\frac{2（1+z）^{2}}{（{x}^{2}+{y}^{2}）z}$=$\frac{2（1+z）}{（1-z）z}$，
令t=1+z＞1，则S=$\frac{2t}{-{t}^{2}+3t-2}$=$\frac{2}{3-（t+\frac{2}{t}）}$≥$\frac{2}{3-2\sqrt{2}}$=6+4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{（z+1）^{2}}{xyz}$的最小值是6+4$\sqrt{2}$．
故答案为：6+4$\sqrt{2}$．

点评 本小题主要考查基本不等式的应用、配凑法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．