Question

20．如图，AB为半圆的直径，C为$\widehat{AB}$的中点，点E为$\widehat{CB}$上的一点．
（1）若$\widehat{CE}=\widehat{BE}$，求$\frac{BE}{AF}$的值；
（2）若tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，求$\frac{EF}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AC，CE，作E作ED⊥BC于D，由$\widehat{CE}=\widehat{BE}$，得到CE=DE，于是△BCE是等腰三角形，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，根据C为$\widehat{AB}$的中点，AB为半圆的直径，得到△ABC是等腰直角三角形，推出△ACF∽△BDE，于是得到结果；
（2）如图2，连接AC，作E作ED⊥BC于D，由AB为半圆的直径，得到∠C=∠AEB=90°，推出∠DEF=∠1=∠2，于是tan∠DEF=tan∠1=tan∠2，即$\frac{DF}{DE}=\frac{CF}{AC}=\frac{DE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，得到DE=2DF，AC=2CF，BD=2DE，得出△ACF∽△EDF，求出结果．

解答 解：（1）如图1，连接AC，CE，作E作ED⊥BC于D，
∵$\widehat{CE}=\widehat{BE}$，∴CE=DE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵C为$\widehat{AB}$的中点，
AB为半圆的直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ACF∽△BDE，
∴$\frac{BE}{AF}$=$\frac{BD}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如图2，连接AC，作E作ED⊥BC于D，
∵AB为半圆的直径，
∴∠C=∠AEB=90°，
∴AC∥DE，
∴∠DEF=∠1=∠2，
∴tan∠DEF=tan∠1=tan∠2，即$\frac{DF}{DE}=\frac{CF}{AC}=\frac{DE}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2DF，AC=2CF，BD=2DE，
∴BD=4DF，
∴BF=5DF，
∵∠C=∠EDF=90°，∠AFC=∠DFE，
∴△ACF∽△EDF，
∴$\frac{EF}{AF}$=$\frac{DF}{CF}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．