Question

9．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x²+2（k-2）x+k=0（k是整数）的最大整数根．P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点．若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA²+PB²+PC²的值．

Answer 1

分析 设方程x²+2（k-2）x+k=0的两个根为x₁，x₂，x₁≤x₂，x₁，x₂都是整数，因为BC=PC-PB为正整数，所以BC=1，2，3或4，讨论BC的值即可求得PA²+PB²+PC²的值，即可解题．

解答 解：设方程x²+2（k-2）x+k=0的两个根为x₁，x₂，x₁≤x₂．由根与系数的关系得x₁+x₂=4-2k，①x₁x₂=k．②
由题设及①知，x₁，x₂都是整数．从①，②消去k，得2x₁x₂+x₁+x₂=4，（2x₁+1）（2x₂+1）=9．
由上式知，x₂≤4，且当k=0时，x₂=4，故最大的整数根为4．
于是⊙O的直径为4，所以BC≤4．
因为BC=PC-PB为正整数，所以BC=1，2，3或4．
连接AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以△PAB∽△PCA，$\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PA}$．
故PA²=PB（PB+BC）③
（1）当BC=1时，由③得，PA²=PB²+PB，于是PB²＜PA²＜（PB+1）²，矛盾！
（2）当BC=2时，由③得，PA²=PB²+2PB，于是PB²＜PA²＜（PB+1）²，矛盾！
（3）当BC=3时，由③得，PA²=PB²+3PB，于是（PA-PB）（PA+PB）=3PB，
由于PB不是合数，结合PA-PB＜PA+PB，
故只可能$\left\{\begin{array}{l}{PA-PB=1}\\{PA+PB=3PB}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{PA-PB=3}\\{PA+PB=PB}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{PA-PB=PB}\\{PA+PB=3}\end{array}\right.$，
解得PA=2，PB=1．
此时PA²+PB²+PC²=21．
（4）当BC=4，由③得，PA²=PB²+4PB，于是（PB+1）²＜PB²+4PB=PA²＜（PB+2）²，矛盾．
综上所述PA²+PB²+PC²=21．

点评 本题考查了一元二次方程的求解，考查了分类讨论思想，本题中讨论BC的值并求PA²+PB²+PC²是解题的关键．