Question

14．在直角三角形△ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的内心，则AP等于（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． 4$\sqrt{2}$-4

Answer 1

分析 建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P₁的坐标，和P关于y轴的对称点P₂的坐标，由P₁，Q，R，P₂四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的内心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．

解答 解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
设△ABC的内切圆的半径为r，则$\frac{1}{2}×4×4=\frac{1}{2}×（4+4+4\sqrt{2}）r$，
∴r=4-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的内心坐标为（4-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）．
设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P₁（x，y），满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+x}{2}+\frac{y+0}{2}=4}\\{\frac{y-0}{x-a}•（-1）=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4-a}\end{array}\right.$，即P₁（4，4-a），
易得P关于y轴的对称点P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四点共线，
直线QR的斜率为k=$\frac{4-a}{4+a}$，故直线QR的方程为y=$\frac{4-a}{4+a}$（x+a），
由于直线QR过△ABC的内心，代入化简可得a=4$\sqrt{2}$-4，
故AP=4$\sqrt{2}$-4．
故选：D．

点评 本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．