Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n．
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列．

Answer 1

分析：（1）2a_n=a_n+1+a_n-1，根据等差数列的定义可知∴{a_n}是等差数列．根据a₁和a₂，求得公差，则数列{a_n}的通项a_n可得．
（2）把a_n和b_n代入b_n+1-a_n+1进而化简整理b_n+1-a_n+1=

1

3

（b_n-a_n），进而可判断∴{b_n-a_n}是以b₁-

1

4

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．

解答：解：（1）证明∵2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
∴{a_n}是等差数列．
又∵a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，∴a_n=

1

4

+（n-1）•

1

2

=

2n-1

4

，
（2）证明：∵b_n=

1

3

b_n-1+

n

3

（n≥2，n∈N^*），
∴b_n+1-a_n+1=

1

3

b_n+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

b_n-

2n-1

12

=

1

3

（b_n-

2n-1

4

）=

1

3

（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-

1

4

≠0，
∴{b_n-a_n}是以b₁-

1

4

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和等比关系的确定．考查了学生综合把握数列基础知识．