Question

5．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时f（x）＞0，且f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）；
（2）证明：f（x）在定义域上是增函数；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）+f（x-2）≥2．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义即可证明：f（x）在定义域上是增函数；
（3）根据函数的单调性即可解不等式f（x（x-2））≥f（9），注意定义域的运用．

解答 解：（1）∵对任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，结合f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即有f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数；
（3）∵f（3）=1，即有f（9）=2f（3）=2，
∴不等式f（x）+f（x-2）≥2等价为f（x（x-2））≥f（9），
∵f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≥9}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞2}\\{x≥1+\sqrt{10}或x≤1-\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
解得x≥1+$\sqrt{10}$，
即不等式的解集为[1+$\sqrt{10}$，+∞）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．结合函数的单调性是解决本题的关键．