Question

设，对任意实数t，记．
（I）求函数y=f（x）-g₈（x）的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x，使得g₈（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数y=f（x）-g₈（x）的单调区间；
（II）（ⅰ）由题意当x＞0时，f（x）≥g_t（x），求出f（x）最小指，和g_t（x）的最大值，从而求证；
（ⅱ）由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t，然后再证明x的唯一性．
解答：解：（I）解：．由y'=x²-4=0，得x=±2．
因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，
当x∈（-2，2）时，y'＜0，
当x∈（2，+∞）时，y'＞0，
故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）．
（II）证明：（i）方法一：
令，则，
当t＞0时，由h'（x）=0，得，
当时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是．
故当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．
方法二：
对任意固定的x＞0，令，则，
由h'（t）=0，得t=x³．
当0＜t＜x³时，h'（t）＞0．
当t＞x³时，h'（t）＜0，
所以当t=x³时，h（t）取得最大值．
因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
（ii）方法一：．
由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
即存在正实数x=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
下面证明x的唯一性：
当x≠2，x＞0，t=8时，，，
由（i）得，，
再取t=x³，得，
所以，
即x≠2时，不满足g_x（x）≥g_t（x）对任意t＞0都成立．
故有且仅有一个正实数x=2，
使得g_x（x）0≥g_t（x）对任意正实数t成立．
方法二：对任意x＞0，，
因为g_t（x）关于t的最大值是，所以要使g_x（x）≥g_t（x）
对任意正实数成立的充分必要条件是：，
即（x-2）²（x+4）≤0，①
又因为x＞0，不等式①成立的充分必要条件是x=2，
所以有且仅有一个正实数x=2，
使得g_x（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．
点评：本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．