Question

设，对任意实数t，记．

(Ⅰ)求函数y＝f(x)－g₂(x)的单调区间；

(Ⅱ)求证：(ⅰ)当x＞0时，f(x)gf(x)≥g₂(x)对任意正实数t成立；

(Ⅲ)有且仅有一个正实数x₀，使得g_x(x₀)≥g_t(x₀)对任意正实数t成立．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：． 　　由，得 　　． 　　因为当时，， 　　当时，， 　　当时，， 　　故所求函数的单调递增区间是，， 　　单调递减区间是． 　　(Ⅱ)证明：(i)方法一： 　　令，则 　　， 　　当时，由，得， 　　当时，， 　　所以在内的最小值是． 　　故当时，对任意正实数成立． 　　方法二： 　　对任意固定的，令，则 　　， 　　由，得． 　　当时，． 　　当时，， 　　所以当时，取得最大值． 　　因此当时，对任意正实数成立． 　　(Ⅲ)方法一： 　　． 　　由(i)得，对任意正实数成立． 　　即存在正实数，使得对任意正实数成立． 　　下面证明的唯一性： 　　当，，时， 　　，， 　　由(i)得，， 　　再取，得， 　　所以， 　　即时，不满足对任意都成立． 　　故有且仅有一个正实数， 　　使得对任意正实数成立． 　　方法二：对任意，， 　　因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是： 　　， 　　即，① 　　又因为，不等式①成立的充分必要条件是， 　　所以有且仅有一个正实数， 　　使得对任意正实数成立．