Question

设函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），且f（

3

a

）＞f（

4

a

），
（1）求a的取值范围；
（2）若x∈（0，

1

a2

]，不等式f（x）≤t²-3t有解，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数单调性，将f（

3

a

）＞f（

4

a

）转化为

3

a

与

4

a

大小关系去解
（2）若不等式f（x）≤t²-3t有解，只需不等式f（x）_min≤t²-3t有解即可．

解答：解：法一：（1）函数f（x）=log_ax的定义域为（0，+∞）．
当a＞1时，函数f（x）=log_ax是定义域上的增函数，不等式f（

3

a

）＞f（

4

a

）化为

3

a

＞

4

a

＞0，无解．
当1＞a＞0时，函数f（x）=log_ax是定义域上的减函数，不等式f（

3

a

）＞f（

4

a

）化为0＜

3

a

＜

4

a

，
∴1＞a＞0
综上所述，a的取值范围是（0，1）．
（2）x∈（0，

1

a2

]，则f（x）∈（-2，+∞），若不等式f（x）≤t²-3t有解，只需不等式f（x）_min≤t²-3t有解即可，即-2≤t²-3t，化为t²-3t+2≥0，解得2≥t≥1．
法二：或f（

3

a

）-f（

4

a

）=（log_a3-1）-（log_a4-1）=log_a3-log_a4，
当a＞1时，函数f（x）=log_ax是定义域上的增函数，f（

3

a

）-f（

4

a

）＜0，与已知矛盾．
当1＞a＞0时，函数f（x）=log_ax是定义域上的减函数，f（

3

a

）-f（

4

a

）＞0成立．∴1＞a＞0
综上所述，a的取值范围是（0，1）．
（2）同法一．

点评：本题考查函数与不等式，函数单调性的应用，考查逻辑思维、转化、求解运算能力．