Question

已知长方形ABCD的AB=3，AD=4．AC∩BD=O．将长方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A-BCD，如图所示．过A作BD的垂线交BD于E．

（1）问a为何值时，AE⊥CD；
（2）当二面角A-BD-C的大小为90°时，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）在△ABD中，AE⊥BD，根据AB=3，AD=4，可得BD=5，AE=

12

5

，DE=

16

5

，利用余弦定理可求CE，利用△ACE为直角三角形，可求AC的长；
（2）证明AE⊥面BCD，过E作BC的垂线交BC于F，连接AF，可得∠AFE就是二面角A-BC-D的平面角，进而可求二面角A-BC-D的正切值．

解答：（1）证明：根据题意，在△ABD中，AE⊥BD，
∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴AE=

12

5

∴DE=

16

5

，
∵cos∠BDC=

3

5

，∴CE2=9+

256

25

-2×3×

16

5

×

3

5

=

193

25

当△ACE为直角三角形时，有a=

337

5

，即a=

337

5

时，△ACE为直角三角形
此时∵AE⊥BD，AE⊥EC，BD∩EC=E
∴AE⊥面BCD，∴AE⊥CD． 
（2）解：∵二面角A-BD-C的大小为90°，AE⊥BD，∴AE⊥面BCD，
过E作BC的垂线交BC于F，连接AF，
∵AE⊥BC，BC⊥EF，∴BC⊥面AEF，∴BC⊥AF，
∴∠AFE就是二面角A-BC-D的平面角，
∵EF=

27

25

，而AE=

12

5

，
∴tan∠AFE=

AE

EF

=

20

9

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角．